估值系统给期权持仓定价，绕不开 Black-Scholes。它是 1973 年提出的模型，到今天仍是场内期权估值的基准（中金所、上交所的期权每日结算价都参考 BS 类模型），也是理解一切改进模型（二叉树、蒙特卡洛、局部波动率）的起点。
推导直觉：复制组合与风险中性
BS 的推导起点是一个观察：期权的 payoff 可以被标的股票 + 无风险债券动态复制出来。认购期权到期价值 $\max(S_T - K, 0)$，如果我在时刻 $t$ 持有 $\Delta$ 份股票、借 $B$ 元债券，并且随股价变动不断调整 $\Delta$，就能让组合价值和期权价值在任何时刻相等。无套利原理要求：能复制的东西，价格必须等于复制品的价格，否则就有人白捡钱。
复制比率 $\Delta$ 由股价变动对期权价格的影响决定，这就是希腊字母 Delta。推导过程（假设标的服从几何布朗运动 $dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW$，对期权价值用伊藤引理展开，令随机项被 Delta 份标的对冲掉）得到一个无随机项的偏微分方程，解出来就是 BS 公式。
关键的中间结论：推导中股票的期望收益率 $\mu$ 被对冲消掉了——期权价格与投资者对涨跌的预期无关，只与波动率有关。于是可以假装世界是风险中性的（所有人只要求无风险回报），折现率直接用 $r$。这就是"风险中性定价"的来历：不是真觉得市场无风险，而是对冲让风险消失了。
公式与数值算例
无股息欧式认购期权：
$$ C = S_0\,N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) $$
$$ d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)\,T}{\sigma\sqrt{T}}, \qquad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} $$
$S_0$ 现价、$K$ 行权价、$r$ 无风险利率、$T$ 剩余期限（年）、$\sigma$ 波动率、$N(\cdot)$ 标准正态分布函数。
代一组数：$S_0 = 5.00$，$K = 5.00$，$r = 3\%$，$\sigma = 25\%$，$T = 0.25$（3 个月，平值期权）：
- $d_1 = \dfrac{0 + (0.03 + 0.03125) \times 0.25}{0.25 \times 0.5} = 0.1225$
- $d_2 = 0.1225 - 0.125 = -0.0025$
- $N(d_1) = 0.5488$，$N(d_2) = 0.4990$
- $C = 5 \times 0.5488 - 5 \times e^{-0.0075} \times 0.4990 \approx 2.744 - 2.476 = 0.268$ 元
一个 3 个月到期的平值认购期权值 0.268 元，约占标的的 5.4%。工程实现里 $N(\cdot)$ 用误差函数近似：$N(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}(x/\sqrt{2})\right]$，erf 有标准库实现，精度到 1e-15 足够。
希腊字母：偏导数就是风险敞口
BS 的价值在求导之后：
$$ \Delta = \frac{\partial C}{\partial S} = N(d_1), \qquad \Gamma = \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} = \frac{N'(d_1)}{S\sigma\sqrt{T}} $$
$$ \text{Vega} = \frac{\partial C}{\partial \sigma} = S\sqrt{T}\,N'(d_1), \qquad \Theta = \frac{\partial C}{\partial t} $$
$\Delta$ 是对冲比率（复制组合里该持有几份标的），$\Gamma$ 是 Delta 的变化速度（对冲误差二阶项），$\text{Vega}$ 是对波动率的敏感度，$\Theta$ 是时间流逝的损耗。估值系统的实时风险链（《希腊字母的实时计算链》篇展开）就是：行情每跳一次 → 重算持仓每份期权的这四个数 → 按持仓汇总成全组合敞口 → 风控限额盯的是汇总值。
隐含波动率：反着用公式
BS 正向是"给 $\sigma$ 算价格"，市场却是反着的——期权有挂牌成交价，把它反解成 $\sigma$。解出来的叫隐含波动率（IV）。方程 $C_{BS}(\sigma) = C_{market}$ 对 $\sigma$ 也没有解析解，用牛顿迭代：
$$ \sigma_{n+1} = \sigma_n - \frac{C_{BS}(\sigma_n) - C_{market}}{\text{Vega}(\sigma_n)} $$
Vega 恰好是迭代的分母，BS 的优美之处：求值和求根共用一套计算。初值用 $\sqrt{2\pi |m| / T}$（$m$ 是平价程度近似），一般 3~5 轮收敛。
然后会观察到市场给的现象：平值期权的 IV 明显低于深度实值/虚值期权，画出来是 smile（股票期权）或 skew（指数期权，一边倒的斜坡）。成因有跳跃风险（尾部要更贵的保险）、杠杆效应（跌时波动放大）。对估值系统这意味着不能对同标的用单一 $\sigma$——拿平值 IV 去估虚值头寸会系统性低估负债。做法是维护一张波动率曲面（行权价 × 期限的 IV 网格），定价时插值取数（《波动率曲面》篇展开插值方法）。
模型的边界
BS 的假设清单要知道，因为每个假设都是实际偏差：波动率恒定（实际是随机的，所以有 smile）、标的连续无跳跃（跳空时 Delta 对冲失效，1987 股灾）、无摩擦（实际有保证金和手续费）、欧式行权（美式要提前行权溢价，用二叉树/PDE 修正）。场内标准期权用 BS + 波动率曲面已够用；雪球、障碍期权这类路径依赖结构（《雪球结构的产品化》篇）必须上蒙特卡洛或 PDE 有限差分。选型依据就一条：payoff 是否依赖路径。